۲-۴-۴٫ تخمین حداکثر درستنمایی[۶۶] در مدلهای گارچ

با فرض اینکه مقادیر  از یک توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس ثابت  استخراج شده باشند بر اساس تئوری توزیع استاندارد، درستنمایی هر یک از مقادیر  عبارت خواهد بود از:
(۲-۱۷)
که  درستنمایی  می باشد.
از آنجائیکه مقادیر  مستقل از یکدیگر می باشند، درستنمایی مقادیر  ، برابر با حاصل ضرب هر یک از درستنمایی ها به تنهایی خواهد بود. بنابراین اگر واریانس تمامی مقادیر یکسان باشد، درستنمایی آنها عبارت خواهد بود از:
 
که می توان آن را به صورت زیر نوشت:
(۲-۱۸)
نحوه تخمین حداکثر درستنمایی، انتخاب پارامترهای توزیعی به گونه ای می باشد که درستنمایی نمونه مشاهده شده انتخابی را حداکثر سازند. فرض می کنیم که دنباله  ، یک فرآیند MA(1) باشد که از طریق مدل زیر ایجاد شده است:
(۲-۱۹)
در مدل رگرسیون کلاسیک میانگین  صفر و واریانس آن مقدار ثابت  می باشد و مقادیر مختلف  مستقل از یکدیگر فرض می شوند. با استفاده از یک نمونه با T مشاهده می توان رابطه (۲-۱۹) را در تابع لگاریتمی درستنمایی رابطه (۲-۱۸) جایگذاری کرد:
(۲-۲۰)
به منظور حداکثر ساختن تابع فوق بر حسب  و  داریم:
 
 
با حل توابع فوق و بدست آوردن مقادیر  و  و اینکه حداکثر مقدار بدست آمده برای lnL از تخمین مقادیر واریانس  و  با استفاده از روش حداقل مربعات معمولی حاصل می گردد. خواهیم داشت:
(۲-۲۱)
(۲-۲۲)
متاسفانه به دلیل غیرخطی بودن معادلات مرتبه اول فوق، امکان استفاده از آنها در تخمین مدلهای آرچ و گارچ وجود ندارد. ساده ترین روش برای این کار معرفی یک فرآیند خطای ARCH(1) به مدل رگرسیونی رابطه (۲-۱۹) می باشد. فرض می کنیم  که جزء اخلال رابطه خطی  می باشد به صورت زیر تعریف شده باشد:
 
اگرچه واریانس شرطی  ثابت نمی باشد اما ضرورت تعدیل رابطه (۲-۳۶) روشن است. از آنجائیکه هر یک از مقادیر  از واریانس شرطی  برخوردار می باشند لذا درستنمایی مقادیر  تا  به صورت زیر می باشد:
 
نتیجتا، تابع لگاریتمی درستنمایی به شکل زیر خواهد بود:
 
حال فرض می کنیم که  باشد و واریانس شرطی از یک فرآیند ARCH(1) به صورت  برخوردار باشد. در این حالت خواهیم داشت:
(۲-۲۳)
با توجه به اینکه  خارج از نمونه می باشد لذا مشاهده اولیه ای وجود ندارد. به محض آنکه  جایگزین  گردد امکان حداکثر ساختن lnL برحسب  ،  و  وجود خواهد داشت.( اندرس، ۲۰۰۴، ۱۳۸-۱۴۰)

۲-۵٫ شبیه سازی مونت کارلو

روش شبیه سازی مونت کارلو نمونه و شاخه ای از ریاضیات عملی یا آزمایشی بوده که بدنبال کشف و استنتاج روابط مربوط به اعداد تصادفی می باشد. در طول دهه گذشته کاربردها و کارکردهای مربوط به روش شبیه سازی مونت کارلو رو به گسترش و فزونی بوده و دامنه گسترده ای از پزشکی و بیولوژی تا فیزیک هسته ای و تحقیق در عملیات را در برگرفته است.
یکی از مباحث کلیدی در مورد شبیه سازی مونت کارلو استفاده از تولیدکننده های اعداد تصادفی بوده است. یک تولیدکننده اعداد تصادفی وسیله ای فیزیکی و یا روشی محاسباتی است که برای تولید دنباله ای از اعداد که از الگوی خاصی تبعیت نموده ( یعنی بطور تصادفی ظاهر شده اند) به کار می رود.سیستم های رایانه ای بطور وسیعی برای تولید اعداد تصادفی مورد استفاده قرار می گیرند در حالی که تولیدکننده های خوبی نبوده اند هر چند الگوهای آنها به راحتی قابل تشخیص نبوده است. کاربرد بسیار این اعداد موجب گوناگونی و فراوانی روشهای تولید این اعداد ( از لحاظ مدت زمانی که برای تولید این اعداد سپری می شود و الگوهای مورد استفاده آنها) شده است.
برای اولین بار استفاده عملی از روش شبیه سازی مونت کارلو در خلال جنگ جهانی دوم و در خصوص تحقیقاتی پیرامون نحوه عمل بمب های اتمی صورت پذیرفت و از آن تاریخ تا کنون بر گستره کارکردها و کاربردهای این روش روز به روز افزوده شده است.یکی از دلایل اصلی این افزایش، ظهور نسل های جدیدی از رایانه ها با قدرت پردازش فوق العاده بوده که توانسته اند سرعت و دقت روش شبیه سازی مونت کارلو را به مقدار قابل توجهی افزایش دهند.
روش شبیه سازی مونت کارلو راه حل هایی تقریبی با استفاده از نمونه گیری آماری و فرآیندهای تصادفی برای دامنه گسترده ای از مسائل موجود از ریاضیات و دیگر شاخه های علوم بوجود آورده است. این روش نوعی روش شبیه سازی آماری بوده که توانسته شبیه سازی مربوطه را با استفاده از دنباله هایی از اعداد تصادفی محقق نماید. روش شبیه سازی مونت کارلو در واقع مجموعه ای از روش هایی متفاوت بوده که اساسا فرآیند یکسانی را طی می نمایند. این فرآیند، شبیه سازی های متعددی را با استفاده از اعداد تصادفی در جهت دستیابی به جوابی تقریبی برای مسئله موردنظر ممکن می سازد. ویژگی و مشخصه اصلی روش شبیه سازی مونت کارلو این بوده است که می تواند با استفاده از تولید کننده های اعداد تصادفی و تولید اینگونه اعداد در حجم بسیار زیاد جواب هایی منطقی و درست در خصوص پدیده های فیزیکی ارائه نماید. ( معارفیان، ۱۳۸۹، ص۱۶-۱۷)
۲-۵-۱٫ تاریخچه شبیه سازی مونت کارلو
مونت کارلو نام شهری در ناحیه موناکو واقع در جنوب شرقی فرانسه است که به خاطر قمارخانه هایش بسیار معروف بوده است. ظهور روش مونت کارلو اغلب به کار استنیسلو یولام[۶۷] ریاضی دان لهستانی برمی گردد که در طی جنگ جهانی دوم برای شرکت نومن در پروژه منهتن کار می کرد. یولام در سال ۱۹۵۱ میلادی به همراه ادوارد یلر، بمب هیدروژنی را طراحی نمود. وی بیشتر شهرت خود را به همین دلیل کسب کرده است. یولام در سال ۱۹۴۶ میلادی هنگامی که در مورد احتمال برد بازی ورق تعمق می کرد، فکر استفاده از روشی را که بعدا مونت کارلو نامیده شد را در ذهن پروراند. او بعد از تلاش فراوان برای حل این مسئله از طریق محاسبات ترکیبی، به فکر افتاد که اگر چندین دست داشت می توانست بازی را به کرات انجام دهد و فراوانی بردها را عینا ملاحظه نماید. این اندیشه او را بر آن داشت تا مسائل مربوط به انتشار نوترون و دیگر سوالات مرتبط با حوزه های ریاضیات و فیزیک را به گونه ای مورد ملاحظه قرار دهد که بر اساس توالی عملکردهای تصادفی قابل تبیین و تفسیر باشند.
امروزه از شبیه سازی مونت کارلو به عنوان روشی یاد می شود که در برگیرنده هر تکنیک نمونه برداری آماری، جهت ارایه پاسخ هایی تقریبی از مسائل کمی بوده است. این نکته را بایستی مدنظر قرار داد که یولام نمونه برداری آماری را کشف نکرده بود بلکه این کار قبلا برای حل مسائل کمی از طریق فرآیندهای فیزیکی مانند پرتاب تاس یا برداشت کارت مورد استفاده قرار گرفته بود.
در واقع کمک یولام به بسط شبیه سازی مونت کالو، تشخیص امکان استفاده از رایانه ها به منظور خودکارسازی نمونه برداری تصادفی بوده است. ادامه همکاری های او با نومن و نیکلاس متروپلیس[۶۸] به توسعه الگوریتم های رایانه ای و نیز بسط ابزار تبدیل مسائل غیرتصادفی به شکلی تصادفی منجر گردید که باعث تسهیل حل آنها از طریق نمونه برداری آماری شده بود. این بسط و توسعه، نمونه برداری آماری را از امری مهجور در ریاضیات به یک متدولوژی رسمی مبدل نمود که برای طیف وسیعی از مسائل متنوع قابل استفاده و بکارگیری بوده است. شرکت متروپلیس این روش و ایده جدید را شبیه سازی مونت کالو نام نهاد. در سال ۱۹۴۹ میلادی یولام و متروپلیس اولین مقاله خود را در زمینه روش شبیه سازی مونت کارلو در مجله انجمن آماری آمریکا به چاپ رساندند.
در حوزه علوم مالی، شبیه سازی مونت کارلو از سال ۱۹۷۰ برای قیمت گذاری اوراق مشتقه و برآورد نسبت های پوشش یونانی مورد استفاده قرار گرفته است. ( معارفیان، ۱۳۸۹ ،ص۶۴-۶۵)

این مطلب را هم بخوانید :
مقایسه میانگین های چند جامعه نرمال چند متغیره تحت شرط ناهمگنی ماتریس ...

۲-۵-۲٫ اعدادتصادفی

تابعی مانند X از ω با مقادیر عددی و با حوزه تعریف Ω را متغیر تصادفی می نامند که می توان این تعریف را به صورت ذیل نمایش داد:
 
صفت تصادفی صرفا برای یادآوری این نکته بوده است که با یک فضای نمونه ای سروکار خواهیم داشت و سعی می نماییم چیزهای معینی را توصیف نماییم که معمولا پیشامدهای تصادفی یا پدیده های شانسی نامیده می شوند. عنصر تصادفی موجود در  نقطه نمونه ای ω بوده که به تصادف برگزیده می شود، نظیر موردی که در ریختن یک تاس یا انتخاب فردی از یک جامعه پیش می آید. بعد از اینکه ω انتخاب شد،  بر طبق آن مشخص می شود و دیگر درباره آن چیزی مبهم، نامعین یا شانسی باقی نمی ماند. در این رابطه اصطلاح متغیر را نیز بایستی به مفهوم وسیع آن، به عنوان متغیر وابسته یعنی تابعی از ω تعبیر نمود. می توان گفت که نقطه نمونه ای ω در اینجا به عنوان متغیر مستقل نظیر نقشی که x در sin(x) برعهده دارد، با این تفاوت که معنی و مفهوم متغیر مستقل در نظریه احتمال متفاوت بوده است.
این نکته قابل ذکر بوده است که متغیرهای تصادفی را می توان قبل از هیچ ذکری از احتمال آنها بر یک فضای نمونه ای تعریف نمود. در واقع انها توزیع های احتمال خود را از طریق یک اندازه احتمال که بر فضای نمونه ای اعمال می شود کسب می نمایند.
از آنجا که تهیه اعداد تصادفی حقیقی بسیار دشوار بوده است، به ندرت از آنها در کاربردهای روزمره استفاده می شود. افزون بر این از آنجا که این اعداد قابل دوباره تولید شدن نبوده اند، آزمایش و اشکال زدایی برنامه های مربوطه را بسیار دشوار می سازند. از این رو در برنامه های رایانه ای از دنباله های شبه تصادفی به جای اعداد تصادفی حقیقی بهره برده می شود.
به یک مفهوم اعداد تصادفی را می توان اعدادی دلخواه و غیرقابل پیش بینی مطرح نمود. از انجایی که ما با رایانه ها کار می کنیم، اعداد تصادفی را می توان به صورت بیت ها یا دنباله ای از بیت های تصادفی تعریف کرد که با گروه بندی آنها می توان به اعدادی در محدوده دلخواه دست یافت.
در تعریف استاندارد ریاضی، رشته ای تصادفی بوده که با هیچ رشته کوتاه تر از خود قابل بیان شدن نباشد. یا به زبان ساده تر قابل فشرده سازی نباشد. توجه کنید که بر طبق تعریف پیش گفته فشرده سازی یک فرآیند تصادفی ساز بوده است.

برای دانلود فایل متن کامل پایان نامه به سایت 40y.ir مراجعه نمایید.