(۳-۶۱)

که در آن

(۳-۶۲)

در روابط بالا اگر  مثبت باشد علامت + و در غیر این صورت علامت – انتخاب می گردد. با این انتخاب می توان نشان داد که  در رابطه  صدق می کند. اکنون ماتریس  را بصورت زیر تعریف می کنیم:

(۳-۶۳)

که در آن  . (چون P متقارن است لذا  می توان نشان داد که با این تعریف عناصر مورد نظر در  صفر می گردند و در  امین مرحله ماتریس  یک ماتریس سه قطری یا هسنبرگی است که با ماتریس اولیه  متشابه است و لذا مقادیر ویژه یکسان دارند. اگر  یک ماتریس متقارن باشد آنگاه  نیز متقارن است و لذا  یک ماتریس سه قطری متقارن خواهد بود. در صورتی که  نامتقارن باشد  یک ماتریس پایین هسنبرگی خواهد بود. روش تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس سه قطری متقارن و ماتریس پایین هسنبرگی را در بخش های بعد مورد بررسی قرار خواهیم داد.
۳-۳-۸- روش های مبتنی بر تجزیه ماتریس برای یافتن مقادیر ویژه
اساس این روش ها برای یافتن مقادیر ویژه یک ماتریس بر تجزیه ماتریس به حاصلضرب چند ماتریس دیگر استوار است که در آن محاسبه مقادیر ویژه ماتریس های حاصل از تجزیه به راحتی امکان پذیر است. در این بخش به بررسی دو نوع از این روش ها می پردازیم.
۳-۳-۸-۱- روش LR برای یافتن مقادیر ویژه
اساس روش LR برای یافتن مقادیر ویژه یک ماتریس بر تجزیه ماتریس به حاصلضرب LR استوار است که در آن L یک ماتریس پایین مثلثی و R یک ماتریس بالا مثلثی است. در این روش ابتدا  را بصورت حاصلضرب  تجزیه نموده و آن را  می نامیم. سپس ماتریس  را به صورت زیر تعریف می کنیم:

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید.

(۳-۶۴)