تابع درستنمایی عبارت است از:
بنابراین برآورد ماکزیمم درستنمایی و به صورت زیر میباشد:
در نتیجه
اگر باشد، آنگاه
بنابراین برآورد ماکزیمم درستنمایی و تحت فرض صفر به صورت زیر میباشد:
بنابراین
در نتیجه آماره آزمون عبارت است از:
بنابراین براساس آزمون نسبت درستنمایی فرض برابری ماتریسهای کوواریانس رد میشود اگر:
و یا به صورت معادل
قضیه ۲-۲-۱برای آزمون در مقابل ، آزمون نسبت درستنمایی با ناحیه بحرانی بفرم اریب است. (یک آزمون اریب است اگر توان آزمون کمتر از خطای نوع اولش باشد.)
اثبات: به منظور اثبات قضیه فوق فرض کنید و باشد به گونهای که یک ماتریس قطری است. در حالت خاص فرض کنید ماتریس به صورت باشد. همچنین ماتریسهای و را به صورت و در نظر بگیرید. در این صورت
و
.
بنابراین آماره را میتوان به صورت زیر نوشت:
به گونهای که است. در این صورت متغیر تصادفی از فاکتور اول در آماره مستقل است و توزیعش به بستگی ندارد.زیرا به عنوان مثال فرض کنید و باشند. در این صورت است و طبق قضیه ۴ پیوست
و همچنین از نیز مستقل است.
متغیر تصادفی را به صورت در نظر بگیرید. در این صورت توزیع با درجات آزادی و است. همچنین فاکتور اول آماره را میتوان به صورت نوشت. بنابراین براساس لم ۱ پیوست، یک عدد ثابت وجود دارد بطوریکه
به دلیل کاستی آزمون نسبت درستنمایی بیان شده، بارتلتBartlett ) در سال ۱۹۳۷ آماره آزمون اصلاح شده را به صورت زیر پیشنهاد داد. این آماره برای حالت عبارت است از:
و یا
قضیه ۲-۲-۲برای آزمون در مقابل آزمون نسبت درستنمایی اصلاح شده با ناحیه بحرانی بفرم نااریب است. (اثبات: Muirhead, 2005, p.299)
۲-۲-۱- توزیع مجانبی آماره
در این قسمت توزیع مجانبی آماره ، زمانیکه اندازه نمونه بزرگ است را به دست میآوریم. بدین منظور فرض کنید
باشد به گونهای که است. همان طور که از قبل میدانیم، تحت فرض صفر(برابری ماتریسهای کوواریانس)، برای اندازه نمونه بزرگ، دارای توزیع کای اسکور با درجه آزادی برابر با تفاضل تعداد پارامترهای مستقل در فضای پارامتری و تعداد پارامترهای مستقل تحت فرض صفر، دارد. یعنی درجه آزادی برابر است با:
حال در این قسمت تعدیلی از آماره قبل یعنی را در نظر میگیریم و را در ادامه معرفی میکنیم. برای بیان توزیع مجانبی، ابتدا حالت کلی را بررسی میکنیم و سپس حالت خاص یعنی توزیع مجانبی را مورد مطالعه قرار میدهیم. ( Muirhead, 2005, p.303 )
متغیر تصادفی با گشتاورهایی بفرم زیر را در نظر بگیرید:
(۲-۲-۱)
جاییکه
(۲-۲-۲)
و یک عدد ثابت است به گونهای که است. با توجه به رابطه (۲-۲-۱) تابع مشخصه زمانیکه است برابر است با
فرض کنید
(۲-۲-۳)
باشد. تابع مولد انباشتک (Cumulant generating function) عبارت است از:
(۲-۲-۴)
به گونهای که
و است. حال بسط تابع لگاریتم گاما را به صورت زیر در نظر بگیرید:
(۲-۲-۵)
در رابطه ( ۲-۲-۵ )، چند جملهای برنولی از درجه است که به صورت ضریب در بسط تعریف میشود. یعنی
(۲-۲-۶)
بنابراین با استفاده از روابط گفته شده، به صورت زیر نوشته میشود:
(۲-۲-۷)
جاییکه

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت zusa.ir مراجعه نمایید.